関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。 (2) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

(2) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べる。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$(1-2x)e^{-2x} = 0$

$e^{-2x} > 0$ であるから、

$1 - 2x = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

次に、$f(x)$ の第二導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -2e^{-2x} + (1-2x)(-2)e^{-2x} = -2e^{-2x} - 2e^{-2x} + 4xe^{-2x} = (-4+4x)e^{-2x} = 4(x-1)e^{-2x}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$4(x-1)e^{-2x} = 0$

$e^{-2x} > 0$ であるから、

$x - 1 = 0$

$x = 1$

増減表を作成する。

| x | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

| :--- | :------- | :------- | :------- | :------- | :------- |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - |

| f''(x)| - | - | - | 0 | + |

| f(x) | 増加、上に凸 | 極大 | 減少、上に凸 | 変曲点 | 減少、下に凸 |

$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$

$f(1) = 1 \cdot e^{-2 \cdot 1} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

(2) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描く。

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{2x}}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

3. 最終的な答え

(1)

増減：

$x < \frac{1}{2}$ で増加、$\frac{1}{2} < x$ で減少。

極値：

$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとる。

凹凸：

$x < 1$ で上に凸、$1 < x$ で下に凸。

変曲点：

$x = 1$ で変曲点 $(1, \frac{1}{e^2})$ をもつ。

(2)

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

グラフの概形：省略（上記の結果に基づいて描画してください）