2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \frac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ で交わり、その点におけるそれぞれの接線が直交するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \frac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ で交わり、その点におけるそれぞれの接線が直交するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 曲線が交わる条件から $a$ と $b$ の関係式を求める。

点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ は両方の曲線上の点なので、それぞれの式に代入できます。

$y = ax^2 + b$ に $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ を代入すると、

$\frac{1}{2} = a(\sqrt{2})^2 + b$

$\frac{1}{2} = 2a + b$

ステップ2: 各曲線の導関数を求める。

$y = ax^2 + b$ の導関数は $y' = 2ax$ です。

$y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ の導関数は $y' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$ です。

ステップ3: 点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ におけるそれぞれの接線の傾きを求める。

$y' = 2ax$ に $x = \sqrt{2}$ を代入すると、$2a\sqrt{2}$ となります。

$y' = -\frac{2}{x^3}$ に $x = \sqrt{2}$ を代入すると、$-\frac{2}{(\sqrt{2})^3} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

ステップ4: 接線が直交する条件から $a$ の値を求める。

2つの接線が直交するためには、それぞれの傾きの積が -1 になる必要があります。

$(2a\sqrt{2})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$

$-2a = -1$

$a = \frac{1}{2}$

ステップ5: $b$ の値を求める。

$a = \frac{1}{2}$ を $\frac{1}{2} = 2a + b$ に代入すると、

$\frac{1}{2} = 2(\frac{1}{2}) + b$

$\frac{1}{2} = 1 + b$

$b = \frac{1}{2} - 1$

$b = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = -\frac{1}{2}$