関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べます。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描きます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べます。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描きます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べます。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1 - 2x)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-2x}(1 - 2x) = 0$

$1 - 2x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -2e^{-2x}(1 - 2x) + e^{-2x}(-2) = e^{-2x}(-2 + 4x - 2) = e^{-2x}(4x - 4) = 4e^{-2x}(x - 1)$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4e^{-2x}(x - 1) = 0$

$x - 1 = 0$

$x = 1$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

| :----- | :------- | :------ | :------- | :------ | :------- |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - |

| f''(x) | - | - | - | 0 | + |

| f(x) | 増加、上に凸 | 極大 | 減少、上に凸 | 変曲点 | 減少、下に凸 |

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2e}$

$x = 1$ のとき、$f(1) = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

したがって、

$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$ をとります。

$x = 1$ で変曲点 $(\frac{1}{e^2})$ をとります。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を描きます。

$\lim_{x \to \infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = 0$ （ロピタルの定理より）

$\lim_{x \to -\infty} xe^{-2x} = -\infty \times \infty = -\infty$

3. 最終的な答え

(1)

増減：$x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少

極値：$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$

凹凸：$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸

変曲点：$(1, \frac{1}{e^2})$

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

グラフの概形：

x軸より下から増加してきて、x=0で0を通り、x=1/2で極大値をとり、その後減少してx=1で変曲点を通り、xが大きくなるにつれて0に近づく。xが負の方向に大きくなるにつれて、yは負の方向に大きくなる。