与えられた関数 $f(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+2}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f(x)$ が極大となる $x$ の値を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ が収束するように実数 $k$ の値を定め、その極限値を求めます。ここで、$a_n = k\log(n+1) - \int_2^{n+1} f(x) dx$ であり、$\log(n+1)$ は $n+1$ の自然対数です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{2x-2}{x^2-2x+2}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f(x)$ が極大となる $x$ の値を求めます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が収束するように実数 $k$ の値を定め、その極限値を求めます。ここで、$a_n = k\log(n+1) - \int_2^{n+1} f(x) dx$ であり、$\log(n+1)$ は $n+1$ の自然対数です。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ が極大となる $x$ の値を求めるには、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求め、その前後で $f'(x)$ の符号が変化することを確認します。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{(2)(x^2-2x+2) - (2x-2)(2x-2)}{(x^2-2x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x + 4 - (4x^2 - 8x + 4)}{(x^2-2x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{-2x^2 + 4x}{(x^2-2x+2)^2} = \frac{-2x(x-2)}{(x^2-2x+2)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = 2$ のときです。

$x<0$ のとき、$f'(x) < 0$.

$0<x<2$ のとき、$f'(x) > 0$.

$x>2$ のとき、$f'(x) < 0$.

したがって、$x=2$ で極大となります。

(2)

数列 $\{a_n\}$ が収束するような $k$ の値を求めます。

$a_n = k\log(n+1) - \int_2^{n+1} \frac{2x-2}{x^2-2x+2} dx$

$\int_2^{n+1} \frac{2x-2}{x^2-2x+2} dx = \int_2^{n+1} \frac{(x^2-2x+2)'}{x^2-2x+2} dx$

$= [\log(x^2-2x+2)]_2^{n+1}$

$= \log((n+1)^2 - 2(n+1) + 2) - \log(2^2 - 2(2) + 2)$

$= \log(n^2+2n+1-2n-2+2) - \log(2)$

$= \log(n^2+1) - \log(2)$

$a_n = k\log(n+1) - \log(n^2+1) + \log(2)$

$a_n = \log(n+1)^k - \log(n^2+1) + \log(2)$

$a_n = \log\left(\frac{(n+1)^k}{n^2+1}\right) + \log(2)$

数列 $\{a_n\}$ が収束するためには、$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^k}{n^2+1}$ が有限の値に収束する必要があります。

$k=2$ のとき、$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{n^2+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2+1} = 1$ となり、収束します。

したがって、$k=2$.

このとき、$\lim_{n\to\infty} a_n = \log(1) + \log(2) = \log(2)$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $k = 2$, 極限値は $\log 2$