与えられた関数 $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。対数関数の底は明示されていませんが、ここでは常用対数（底が10）であると仮定して計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。対数関数の底は明示されていませんが、ここでは常用対数（底が10）であると仮定して計算します。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

まず、外側の関数 $u^3$ を $u$ で微分し、次に $u = \log(x^2 + 1)$ を $x$ で微分します。

ステップ1: $y$ を $u = \log(x^2 + 1)$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2$

ステップ2: $u = \log(x^2 + 1)$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{(x^2 + 1)\ln(10)} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln(10)}$

ステップ3: チェーンルールを適用して $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3\{\log(x^2 + 1)\}^2 \cdot \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln(10)}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{(x^2 + 1)\ln(10)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{6x\{\log(x^2 + 1)\}^2}{(x^2 + 1)\ln(10)}$