$\int \sin^{-1} x dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \sin^{-1} x dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

逆三角関数の積分なので、部分積分を用いる。

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$ となる。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ を計算する。

$t = 1 - x^2$ とおくと、$dt = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} dt$となるので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = - \sqrt{t} + C = - \sqrt{1 - x^2} + C$

よって、

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - (- \sqrt{1 - x^2}) + C = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$

3. 最終的な答え

$x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$