与えられた関数 $y = \{\log(x^2+1)\}^9$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \{\log(x^2+1)\}^9$ の微分 $dy/dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使用します。

まず、$u = \log(x^2+1)$ とおくと、$y = u^9$ となります。

$dy/du$と $du/dx$ をそれぞれ計算し、積の法則を用いて $dy/dx$ を求めます。

ステップ1: $dy/du$ を計算します。

$y = u^9$ より、

$\frac{dy}{du} = 9u^8$

ステップ2: $du/dx$ を計算します。

$u = \log(x^2+1)$ なので、さらに $v = x^2+1$ とおくと、$u = \log v$ となります。

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

よって、$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

ステップ3: $dy/dx$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 9u^8 \cdot \frac{2x}{x^2+1}$

ここで、$u = \log(x^2+1)$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = 9\{\log(x^2+1)\}^8 \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{18x\{\log(x^2+1)\}^8}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{18x\{\log(x^2+1)\}^8}{x^2+1}$