関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) 定義域の確認:

$x > 0$ である必要があります。

(2) 一階導関数の計算:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)$

(3) 極値の候補の特定:

$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。$x>0$なので、$2\log x + 1 = 0$ より $\log x = -\frac{1}{2}$ となります。

したがって、$x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ です。

(4) 増減表の作成:

$x$ | 0 | ... | $\frac{1}{\sqrt{e}}$ | ... | $\infty$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | | - | 0 | + |

$f(x)$ | | 減少 | | 増加 |

$x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2\log x + 1 < 0$ なので $f'(x) < 0$。

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2\log x + 1 > 0$ なので $f'(x) > 0$。

したがって、$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値を取ります。

極小値は $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \log \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2e}$

(5) 二階導関数の計算:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (x(2\log x + 1)) = (2\log x + 1) + x \cdot \frac{2}{x} = 2\log x + 1 + 2 = 2\log x + 3$

(6) 変曲点の候補の特定:

$f''(x) = 0$ となる $x$ を探します。$2\log x + 3 = 0$ より $\log x = -\frac{3}{2}$ となります。

したがって、$x = e^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ です。

(7) 凹凸の確認:

$x$ | 0 | ... | $\frac{1}{e\sqrt{e}}$ | ... | $\infty$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f''(x)$ | | - | 0 | + |

$f(x)$ | | 凹 | | 凸 |

$x < \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき、$2\log x + 3 < 0$ なので $f''(x) < 0$ (上に凸)。

$x > \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき、$2\log x + 3 > 0$ なので $f''(x) > 0$ (下に凸)。

したがって、$x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で変曲点を持ちます。

変曲点の $y$ 座標は $f\left(\frac{1}{e\sqrt{e}}\right) = \left(\frac{1}{e\sqrt{e}}\right)^2 \log \left(\frac{1}{e\sqrt{e}}\right) = \frac{1}{e^3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{2e^3}$

(8) グラフの概形:

$x \to +0$ のとき $f(x) \to 0$ であることを用いると、増減表と凹凸の情報を基にグラフの概形を描けます。

3. 最終的な答え

- 定義域: $x > 0$

- 極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = -\frac{1}{2e}$

- 変曲点: $x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で $f\left(\frac{1}{e\sqrt{e}}\right) = -\frac{3}{2e^3}$

- $0 < x < \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で上に凸

- $x > \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で下に凸

- $0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ で減少

- $x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ で増加

- $x \to +0$ で $f(x) \to 0$