$\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan^{-1} 2$ と $\tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ のそれぞれの値を$\alpha$と$\beta$とおきます。

つまり、$\alpha = \tan^{-1} 2$、$\beta = \tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ とします。

このとき、$\tan \alpha = 2$、$\tan \beta = -\frac{1}{3}$ となります。

次に、$\tan (\alpha + \beta)$ を計算します。

$\tan$ の加法定理より、

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$

が成り立ちます。

$\tan \alpha = 2$、$\tan \beta = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\tan (\alpha + \beta) = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 - 2 \cdot (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{5}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$

となります。

したがって、$\alpha + \beta = \tan^{-1} 1$ となります。

$\tan^{-1} 1$ の値は $\frac{\pi}{4}$ です。

ただし、$\tan^{-1}$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であることに注意します。

$\tan^{-1} 2$ は約1.107であり、$\tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ は約-0.322であるため、$\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} (-\frac{1}{3})$ は$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$に含まれます。

$\tan (\alpha + \beta) = 1$となる$\alpha + \beta$は$\frac{\pi}{4}$です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$