関数 $f(x) = \frac{(x^2-3)(x+1)}{x+2}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{(x^2-3)(x+1)}{x+2}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理するために、分子を展開する。

$(x^2-3)(x+1) = x^3 + x^2 - 3x - 3$

よって、$f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 3x - 3}{x+2}$ である。

次に、商の微分公式を用いる。商の微分公式は、

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。

ここで、$u = x^3 + x^2 - 3x - 3$ と $v = x+2$ とおくと、

$u' = 3x^2 + 2x - 3$ と $v' = 1$ である。

商の微分公式に代入すると、

$f'(x) = \frac{(3x^2 + 2x - 3)(x+2) - (x^3 + x^2 - 3x - 3)(1)}{(x+2)^2}$

分子を展開して整理する。

$(3x^2 + 2x - 3)(x+2) = 3x^3 + 6x^2 + 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 3x^3 + 8x^2 + x - 6$

$f'(x) = \frac{3x^3 + 8x^2 + x - 6 - (x^3 + x^2 - 3x - 3)}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{3x^3 + 8x^2 + x - 6 - x^3 - x^2 + 3x + 3}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^3 + 7x^2 + 4x - 3}{(x+2)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{2x^3 + 7x^2 + 4x - 3}{(x+2)^2}$