$\sin^{-1}\frac{4}{5} + \sin^{-1}\frac{3}{5}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}\frac{4}{5} + \sin^{-1}\frac{3}{5}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha = \sin^{-1}\frac{4}{5}$ および $\beta = \sin^{-1}\frac{3}{5}$ とおきます。このとき、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$ と $\sin\beta = \frac{3}{5}$ が成り立ちます。

$\alpha$ と $\beta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ かつ $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$ です。

$\sin\alpha$ と $\sin\beta$ は正なので、$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ となります。

$\cos\alpha$ と $\cos\beta$ を計算します。

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\sin(\alpha + \beta)$ を計算します。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$

$\alpha + \beta$ の範囲は $0 < \alpha + \beta < \pi$ です。

$\sin(\alpha + \beta) = 1$ なので、$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$