$x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ $(0 < t < \frac{\pi}{2})$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、与えられた選択肢から当てはまるものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ $(0 < t < \frac{\pi}{2})$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、与えられた選択肢から当てはまるものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(a) $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$$\frac{dx}{dt} = 3\cos^2 t (-\sin t) = -3\cos^2 t \sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t (\cos t) = 3\sin^2 t \cos t$$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$$

したがって、$\frac{dy}{dx} = -1 \cdot \frac{1}{\frac{-1}{-\tan t}} = -1 \cdot \frac{1}{-\cot t}$.

よって、ウは-1、エは-cot t（選択肢にないので変形をする必要がある）。

$\frac{dy}{dx} = -\tan t$なので、$\frac{dy}{dx}= (-1)\frac{1}{\frac{1}{-\tan t}}=(-1) \frac{1}{-\frac{1}{\tan t}}$.

(b) $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dx}(-\tan t) = \frac{d}{dt}(-\tan t) \cdot \frac{dt}{dx}$$

$$\frac{d}{dt}(-\tan t) = -\frac{1}{\cos^2 t}$$

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{dx/dt} = \frac{1}{-3\cos^2 t \sin t}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \left(-\frac{1}{\cos^2 t}\right) \cdot \left(\frac{1}{-3\cos^2 t \sin t}\right) = \frac{1}{3\cos^4 t \sin t}$$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{ \cos^4 t \sin t}$.

したがって、カは3、キは $\cos^4 t \sin t$ である。

$\frac{dy}{dx}= -\tan t$

なので, $dy/dx = (-1) \cdot \frac{1}{ \cot t}$.

よって、ウ＝-1, エ=1, オ＝ cot t ではない。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin t}{\cos t}$.よって、ウは1ではなく-1なので、⑦。

$\frac{dy}{dx}=(-1)\frac{1}{\cot t}$なので、オには cot t に相当するものはない。

$$\frac{dy}{dx} = (-1) \cdot \frac{1}{\cos t/\sin t} = (-1) \cdot \frac{1}{\frac{\cos t}{\sin t}} = (-1) \cdot \frac{1}{ \cos t} \cdot \sin t \cdot \frac{\sin t}{\sin t} = (-1)\cdot\frac{1}{ \sin t \cos t} \cdot \sin^2 t$$

$\frac{dy}{dx} = -\tan t$。

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (-\tan t) = \frac{\frac{d}{dt}(-\tan t)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-\frac{1}{\cos^2 t}}{-3\cos^2 t \sin t} = \frac{1}{3\cos^4 t \sin t}.$$

よって、カは3なので、③。キは $\cos^4 t \sin t$。

3. 最終的な答え

(a) ウ: ⑦ (-1), エ: b(tan t), オ: cot t

(b) カ: ③ (3), キ: $\cos^4 t \sin t$, ク: $\cos^4 t \sin t$

$\frac{dy}{dx} = (-1) \tan t$ なので、

ウ = ⑦ (-1)

エ = b(tan t)　　　　 オ = (b)(tan t)

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{3 \cos^4(t) \sin(t)}$

カ = ③ (3), キ = (6)($\cos^3 t$), ク = (0)(sin t)