数直線上を移動する点Pの時刻 $t$ における速度 $f(t)$ が $f(t) = at^2 + bt + c$ で与えられています。 (a) 時刻 $t = 0$ における速度が $-6$ cm/s であり、時刻 $t = 1$ s において速度の最小値 $-9$ cm/s をとる時、$a, b, c$ の値を求めます。 (b) 時刻 $t = 0$ における点Pの位置が $18$ cm であるとき、時刻 $t$ における点Pの座標を $t$ の式で表します。 (c) 点Pの座標が $0$ になるときの $t$ の値を全て求めます。

1. 問題の内容

数直線上を移動する点Pの時刻 $t$ における速度 $f(t)$ が $f(t) = at^2 + bt + c$ で与えられています。

(a) 時刻 $t = 0$ における速度が $-6$ cm/s であり、時刻 $t = 1$ s において速度の最小値 $-9$ cm/s をとる時、$a, b, c$ の値を求めます。

(b) 時刻 $t = 0$ における点Pの位置が $18$ cm であるとき、時刻 $t$ における点Pの座標を $t$ の式で表します。

(c) 点Pの座標が $0$ になるときの $t$ の値を全て求めます。

2. 解き方の手順

(a)

まず、$f(0) = -6$ という条件から、$c$ の値を求めます。

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$

したがって、$c = -6$。

次に、$t = 1$ で速度が最小値をとるという条件を使います。

$f(t) = at^2 + bt - 6$

この関数が $t = 1$ で最小値をとるので、$f'(1) = 0$ となります。

$f'(t) = 2at + b$

$f'(1) = 2a + b = 0$

よって、$b = -2a$

また、$f(1) = -9$ という条件より、

$f(1) = a(1)^2 + b(1) - 6 = a + b - 6 = -9$

$a + b = -3$

$b = -2a$ を $a + b = -3$ に代入すると、

$a - 2a = -3$

$-a = -3$

$a = 3$

$b = -2a = -2(3) = -6$

よって、$a = 3, b = -6, c = -6$

(b)

点Pの速度 $v(t)$ は $v(t) = 3t^2 - 6t - 6$ です。

位置 $x(t)$ は速度を積分することで求められます。

$x(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 - 6t - 6) dt = t^3 - 3t^2 - 6t + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$t = 0$ における位置が $18$ cm であることから、$x(0) = 18$ なので、

$x(0) = (0)^3 - 3(0)^2 - 6(0) + C = C = 18$

したがって、$x(t) = t^3 - 3t^2 - 6t + 18$

(c)

点Pの座標が $0$ になるとき、$x(t) = 0$ です。

$t^3 - 3t^2 - 6t + 18 = 0$

$t^2(t - 3) - 6(t - 3) = 0$

$(t^2 - 6)(t - 3) = 0$

よって、$t = 3$ または $t^2 = 6$ より $t = \pm\sqrt{6}$

$t \ge 0$ より、$t = 3, \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(a) $a = 3$, $b = -6$, $c = -6$

(b) $x(t) = t^3 - 3t^2 - 6t + 18$

(c) $t = 3, \sqrt{6}$