曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $6x^2 - 7x + 2$ で与えられています。曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, 3)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。

## (4) の問題

1. 問題の内容

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが $6x^2 - 7x + 2$ で与えられています。曲線 $y = f(x)$ が点 $(2, 3)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

接線の傾きは、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ に等しいので、$f'(x) = 6x^2 - 7x + 2$ です。

$f(x)$ を求めるには、$f'(x)$ を積分します。

$\int f'(x) dx = \int (6x^2 - 7x + 2) dx = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x + C$ (Cは積分定数)

したがって、$f(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x + C$ となります。

曲線が点 $(2, 3)$ を通るので、$f(2) = 3$ が成り立ちます。

$f(2) = 2(2^3) - \frac{7}{2}(2^2) + 2(2) + C = 16 - 14 + 4 + C = 6 + C$

$6 + C = 3$ より、$C = -3$ となります。

したがって、$f(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x - 3$ です。

3. 最終的な答え

$f(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 2x - 3$

## (5) の問題

### (a)

1. 問題の内容

数直線上を移動する点Pの時刻 $t$ における速度が $f(t) = at^2 + bt + c$ である。点Pは時刻 $t = 0$ における速度が $-6$ cm/s であり、時刻 $t = 1$ s において速度の最小値 $-9$ cm/s をとるという。$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

時刻 $t=0$ における速度が $-6$ cm/s であることから、$f(0) = -6$ が成り立ちます。

$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$

したがって、$c = -6$ です。

速度の最小値が $t=1$ で $-9$ cm/s をとることから、$f(1) = -9$ が成り立ちます。

$f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = a + b - 6$

したがって、$a + b - 6 = -9$ より、$a + b = -3$ です。

また、$t=1$ で速度が最小値をとるということは、$f'(1) = 0$ が成り立つことを意味します。

$f'(t) = 2at + b$

$f'(1) = 2a(1) + b = 2a + b$

したがって、$2a + b = 0$ です。

$a + b = -3$ と $2a + b = 0$ の連立方程式を解きます。

$2a + b - (a + b) = 0 - (-3)$

$a = 3$

$3 + b = -3$ より、$b = -6$

したがって、$a=3, b=-6, c=-6$ です。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = -6, c = -6$

### (b)

1. 問題の内容

(a) において、点Pの時刻 $t = 0$ における位置が $18$ cm であるとき、時刻 $t$ における点Pの座標を $t$ [s] の式で表せ。

2. 解き方の手順

速度 $f(t) = at^2 + bt + c$ を積分すると、位置を表す関数 $s(t)$ が得られます。

$s(t) = \int f(t) dt = \int (3t^2 - 6t - 6) dt = t^3 - 3t^2 - 6t + D$ (Dは積分定数)

$t = 0$ における位置が $18$ cm であることから、$s(0) = 18$ が成り立ちます。

$s(0) = (0)^3 - 3(0)^2 - 6(0) + D = D$

したがって、$D = 18$ です。

よって、位置を表す関数は $s(t) = t^3 - 3t^2 - 6t + 18$ となります。

3. 最終的な答え

$s(t) = t^3 - 3t^2 - 6t + 18$

### (c)

1. 問題の内容

点Pの座標が0になるときの $t$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標が0になるとき、$s(t) = 0$ となります。

$t^3 - 3t^2 - 6t + 18 = 0$

この3次方程式を解きます。因数定理を利用して、整数解を探します。

$t=3$ を代入すると、$3^3 - 3(3^2) - 6(3) + 18 = 27 - 27 - 18 + 18 = 0$ となり、$t=3$ は解の一つです。

したがって、$(t-3)$ は $t^3 - 3t^2 - 6t + 18$ の因数です。

多項式の割り算を行うと、$t^3 - 3t^2 - 6t + 18 = (t-3)(t^2 - 6)$ となります。

$(t-3)(t^2 - 6) = 0$ より、$t = 3$ または $t^2 = 6$ です。

$t^2 = 6$ を解くと、$t = \pm \sqrt{6}$ となります。

したがって、$t = 3, \sqrt{6}, -\sqrt{6}$ です。

3. 最終的な答え

$t = 3, \sqrt{6}, -\sqrt{6}$