(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めます。 (2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求めます。

はい、承知いたしました。問題38の(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^4 - 6x^2 + 10$ の最小値を求めます。

(2) $-1 \le x \le 2$ のとき、関数 $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$ の最大値、最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^4 - 6x^2 + 10$

$x^2 = t$ とおくと、 $y = t^2 - 6t + 10$ となります。

平方完成すると、 $y = (t - 3)^2 + 1$

$t = x^2 \ge 0$ より、$t = 3$ のとき最小値をとります。

$x^2 = 3$ より、$x = \pm \sqrt{3}$ のとき、最小値 $y = 1$ をとります。

(2) $y = (x^2 - 2x - 1)^2 - 6(x^2 - 2x - 1) + 5$

$x^2 - 2x - 1 = u$ とおくと、$y = u^2 - 6u + 5$

$u = (x - 1)^2 - 2$

$-1 \le x \le 2$ より、

$x = 1$ のとき、$u = -2$

$x = -1$ のとき、$u = (-1)^2 - 2(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$

$x = 2$ のとき、$u = 2^2 - 2(2) - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$

よって、$-2 \le u \le 2$

$y = u^2 - 6u + 5 = (u - 3)^2 - 4$

$-2 \le u \le 2$ の範囲で、$u = 2$ のとき最大値をとります。

$y = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$ (最大値)

$u = -2$ のとき最小値をとります。

$y = (-2)^2 - 6(-2) + 5 = 4 + 12 + 5 = 21$ (最小値)

したがって、最大値は $-3$、最小値は $21$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 1

(2) 最大値: -3, 最小値: 21