(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{7 + 5^{2n}}{9^n}$ を求める。 (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n - 1}{a^n + 1}$ (ただし $a \neq -1$) を求める。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{7 + 5^{2n}}{9^n}$ を求める。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n - 1}{a^n + 1}$ (ただし $a \neq -1$) を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$5^{2n} = (5^2)^n = 25^n$ であることを利用する。

$\frac{7 + 5^{2n}}{9^n} = \frac{7 + 25^n}{9^n} = \frac{7}{9^n} + \frac{25^n}{9^n} = 7\left(\frac{1}{9}\right)^n + \left(\frac{25}{9}\right)^n$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{9}\right)^n = 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{25}{9}\right)^n = \infty$ である。

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{7 + 5^{2n}}{9^n} = \lim_{n \to \infty} \left(7\left(\frac{1}{9}\right)^n + \left(\frac{25}{9}\right)^n\right) = 7 \cdot 0 + \infty = \infty$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n - 1}{a^n + 1}$ を考える。

場合分けをする。

- $0 < |a| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n - 1}{a^n + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

- $a = 1$ のとき、$\frac{a^n - 1}{a^n + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

- $a > 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} a^n = \infty$ なので、$\frac{a^n - 1}{a^n + 1} = \frac{1 - \frac{1}{a^n}}{1 + \frac{1}{a^n}}$ と変形できる。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{a^n}}{1 + \frac{1}{a^n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

- $a < -1$ のとき、$\frac{a^n - 1}{a^n + 1} = \frac{1 - \frac{1}{a^n}}{1 + \frac{1}{a^n}}$ と変形できる。$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{a^n} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{a^n}}{1 + \frac{1}{a^n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

まとめると、

$0 < |a| < 1$ のとき、-1

$a = 1$ のとき、0

$|a| > 1$ のとき、1

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2)

$0 < |a| < 1$ のとき、-1

$a = 1$ のとき、0

$|a| > 1$ のとき、1