数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$ であり、漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ を満たすとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = \frac{7}{3}$ であり、漸化式 $3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ を満たすとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形する。

$3a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = 0$ より、

$3a_{n+2} - 3a_{n+1} - a_{n+1} + a_n = 0$

$3(a_{n+2} - a_{n+1}) = a_{n+1} - a_n$

$a_{n+2} - a_{n+1} = \frac{1}{3} (a_{n+1} - a_n)$

数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

$a_{n+1} - a_n = (a_2 - a_1) (\frac{1}{3})^{n-1} = (\frac{7}{3} - 1) (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{4}{3} (\frac{1}{3})^{n-1} = 4 (\frac{1}{3})^n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4 (\frac{1}{3})^k$

$= 1 + 4 \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{3})^k = 1 + 4 \cdot \frac{\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + 4 \cdot \frac{\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{3})^{n-1})}{\frac{2}{3}} = 1 + 4 \cdot \frac{1}{2} (1 - (\frac{1}{3})^{n-1})$

$= 1 + 2 (1 - (\frac{1}{3})^{n-1}) = 1 + 2 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1} = 3 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1}$

したがって、$a_n = 3 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3 - 2 (\frac{1}{3})^{n-1}) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$

3. 最終的な答え

3