与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。 $x \frac{dy}{dx} + y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は次の通りです。

$x \frac{dy}{dx} + y = 0$

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を変数分離形に書き換えます。

$x \frac{dy}{dx} = -y$

両辺を $xy$ で割ると

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x}$

両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} dx = \int -\frac{1}{x} dx$

$\int \frac{1}{y} dy = - \int \frac{1}{x} dx$

積分を実行します。

$\ln|y| = -\ln|x| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。指数関数を適用して $y$ について解きます。

$e^{\ln|y|} = e^{-\ln|x| + C}$

$|y| = e^{-\ln|x|} e^C$

$|y| = e^{\ln|x^{-1}|} e^C$

$|y| = \frac{1}{|x|} e^C$

$y = \pm \frac{e^C}{x}$

$e^C$ は定数なので、$K = \pm e^C$ とおくと、

$y = \frac{K}{x}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{K}{x}$