曲線 $y = e^{-x}$ の接線で、原点を通るものを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = e^{-x}$ の接線で、原点を通るものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = e^{-x}$ 上の点 $(t, e^{-t})$ における接線を求めます。

$y = e^{-x}$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

したがって、点 $(t, e^{-t})$ における接線の傾きは $-e^{-t}$ です。

接線の式は、点 $(t, e^{-t})$ を通り傾きが $-e^{-t}$ の直線なので、

$y - e^{-t} = -e^{-t}(x - t)$

$y = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t}$

この接線が原点 $(0, 0)$ を通ることから、

$0 = -e^{-t}(0) + te^{-t} + e^{-t}$

$0 = te^{-t} + e^{-t}$

$0 = e^{-t}(t + 1)$

$e^{-t}$ は常に正なので、$t + 1 = 0$

よって、$t = -1$

したがって、接点の座標は $(-1, e)$ であり、接線の傾きは $-e$ です。

接線の式は

$y - e = -e(x + 1)$

$y = -ex - e + e$

$y = -ex$

3. 最終的な答え

$y = -ex$