関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数（$n \ge 1$）を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 e^{2x}$ の $n$ 次導関数（$n \ge 1$）を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 e^{2x}$ の1次導関数、2次導関数、3次導関数を計算して、規則性を見つける。

1次導関数:

$y' = (x^2)' e^{2x} + x^2 (e^{2x})' = 2x e^{2x} + x^2 (2 e^{2x}) = 2x e^{2x} + 2x^2 e^{2x} = (2x^2 + 2x) e^{2x}$

2次導関数:

$y'' = (2x^2 + 2x)' e^{2x} + (2x^2 + 2x) (e^{2x})' = (4x + 2) e^{2x} + (2x^2 + 2x) (2 e^{2x}) = (4x + 2) e^{2x} + (4x^2 + 4x) e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2) e^{2x}$

3次導関数:

$y''' = (4x^2 + 8x + 2)' e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2) (e^{2x})' = (8x + 8) e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2) (2 e^{2x}) = (8x + 8) e^{2x} + (8x^2 + 16x + 4) e^{2x} = (8x^2 + 24x + 12) e^{2x}$

ライプニッツの公式を用いる。

$y = x^2 e^{2x}$ に対して、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (e^{2x})^{(n-k)}$

ここで、

$(x^2)^{(0)} = x^2$

$(x^2)^{(1)} = 2x$

$(x^2)^{(2)} = 2$

$(x^2)^{(k)} = 0$ for $k \ge 3$

$(e^{2x})^{(n-k)} = 2^{n-k} e^{2x}$

したがって、

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 (2^n e^{2x}) + \binom{n}{1} (2x) (2^{n-1} e^{2x}) + \binom{n}{2} (2) (2^{n-2} e^{2x})$

$= x^2 2^n e^{2x} + n(2x) 2^{n-1} e^{2x} + \frac{n(n-1)}{2} (2) 2^{n-2} e^{2x}$

$= x^2 2^n e^{2x} + n x 2^n e^{2x} + n(n-1) 2^{n-2+1} e^{2x}$

$= x^2 2^n e^{2x} + n x 2^n e^{2x} + n(n-1) 2^{n-1} e^{2x}$

$= 2^{n-1} e^{2x} [2x^2 + 2nx + n(n-1)]$

$= 2^{n-1} e^{2x} [2x^2 + 2nx + n^2 - n]$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^{n-1} e^{2x} (2x^2 + 2nx + n^2 - n)$