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関数 $f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) について、次の問いに答える。 (1) $t = \sin \theta - \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表せ。 (2) $f(\theta)$ の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。 (3) 実数 $a$ に対して、$f(\theta) = a$ となる $\theta$ がちょうど2個であるような $a$ の範囲を求めよ。

解析学三角関数最大最小関数のグラフ置換積分
2025/8/2

1. 問題の内容

関数 f(θ)=12sin⁡2θ−sin⁡θ+cos⁡θf(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta (0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi) について、次の問いに答える。
(1) t=sin⁡θ−cos⁡θt = \sin \theta - \cos \theta とおくとき、f(θ)f(\theta) を tt の式で表せ。
(2) f(θ)f(\theta) の最大値と最小値、およびそのときの θ\theta の値を求めよ。
(3) 実数 aa に対して、f(θ)=af(\theta) = a となる θ\theta がちょうど2個であるような aa の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) t=sin⁡θ−cos⁡θt = \sin \theta - \cos \theta であるから、t2=(sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1−2sin⁡θcos⁡θ=1−sin⁡2θt^2 = (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = 1 - \sin 2\theta となる。
よって、sin⁡2θ=1−t2\sin 2\theta = 1 - t^2 である。したがって、
f(θ)=12sin⁡2θ−sin⁡θ+cos⁡θ=12(1−t2)−t=−12t2−t+12f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\theta - \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - t^2) - t = -\frac{1}{\sqrt{2}} t^2 - t + \frac{1}{\sqrt{2}}
(2) t=sin⁡θ−cos⁡θ=2sin⁡(θ−π4)t = \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) と表せる。
0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi より、−π4≤θ−π4≤3π4 -\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} である。
よって、−1≤sin⁡(θ−π4)≤1-1 \le \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1 となるから、−2≤t≤2 -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} である。
f(θ)f(\theta) を tt の関数として g(t)g(t) とおく。すなわち、g(t)=−12t2−t+12g(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} t^2 - t + \frac{1}{\sqrt{2}} である。
g(t)=−12(t2+2t)+12=−12(t+22)2+12+142×2=−12(t+22)2+322g(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} (t^2 + \sqrt{2} t) + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \times 2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3}{2\sqrt{2}}
である。
t=−22t = -\frac{\sqrt{2}}{2} のとき、g(t)g(t) は最大値 322=324\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} をとる。
t=2sin⁡(θ−π4)=−22t = \sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} より、sin⁡(θ−π4)=−12\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} となる。
−π4≤θ−π4≤3π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} より、θ−π4=−π6\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} であり、θ=π12\theta = \frac{\pi}{12} である。
t=2t = \sqrt{2} のとき、g(t)=−12(2)2−2+12=−22−2+12=−2−2+22=−22+22=−322g(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} となる。
t=2t = \sqrt{2} より、sin⁡(θ−π4)=1\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = 1 となる。
−π4≤θ−π4≤3π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} より、θ−π4=π2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} であり、θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4} である。
t=−2t = -\sqrt{2} のとき、g(t)=−12(−2)2−(−2)+12=−22+2+12=−2+2+22=22g(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} (-\sqrt{2})^2 - (-\sqrt{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} となる。
t=−2t = -\sqrt{2} より、sin⁡(θ−π4)=−1\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) = -1 となる。
−π4≤θ−π4≤3π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} より、θ−π4=−π2\theta - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} であり、θ=−π4\theta = -\frac{\pi}{4}。しかし、θ\theta の範囲から不適切である。
t=−2t=-\sqrt{2}は範囲外なので、端点の値を考慮する。
t=−2t = -\sqrt{2} は θ=0,θ=π\theta =0, \theta = \pi の時である。θ=0\theta = 0 の時 t=−1t = -1, θ=π\theta = \pi の時 t=1t = 1。
したがって、f(θ)f(\theta) の最大値は 324\frac{3\sqrt{2}}{4} (θ=π12\theta = \frac{\pi}{12})、最小値は −322-\frac{3\sqrt{2}}{2} (θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4}) である。
(3) f(θ)=af(\theta) = a となる θ\theta がちょうど2個であるような aa の範囲を求める。
g(t)=ag(t)=aとなるtが2個あればよい。
g(t)=−12(t+22)2+324g(t) = -\frac{1}{\sqrt{2}} (t + \frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{3\sqrt{2}}{4}
−2≤t≤2-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} の範囲で考える。
g(−2)=22g(-\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, g(2)=−322g(\sqrt{2}) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} である。
θ\theta が [0,π][0, \pi] であり、t=2sin⁡(θ−π4)t = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) であることを考慮すると、θ\theta が 1 つに定まれば、tt も 1 つに定まる。しかし、tt から θ\theta を求める場合、θ\theta は 2 つ存在する場合がある。
g(t)=ag(t) = a の解の個数について、a=324a = \frac{3\sqrt{2}}{4} ならば t=−22t=-\frac{\sqrt{2}}{2} が 1 つ。
a=−322a = -\frac{3\sqrt{2}}{2} ならば t=2t = \sqrt{2} が 1 つ。
a=22a = \frac{\sqrt{2}}{2} ならば t=−2t = -\sqrt{2} が 1 つ。
y=ty=tのグラフを描くと、−322<a<22 -\frac{3\sqrt{2}}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2} と、a=324 a = \frac{3\sqrt{2}}{4} の時。

3. 最終的な答え

(1) f(θ)=−12t2−t+12f(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{2}} t^2 - t + \frac{1}{\sqrt{2}}
(2) 最大値: 324\frac{3\sqrt{2}}{4} (θ=π12\theta = \frac{\pi}{12}), 最小値: −322-\frac{3\sqrt{2}}{2} (θ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4})
(3) −322<a<22,a=324-\frac{3\sqrt{2}}{2} < a < \frac{\sqrt{2}}{2}, a = \frac{3\sqrt{2}}{4}

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