不定積分 $\int 2 \sin x \cos x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 2 \sin x \cos x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の倍角の公式 $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ を利用します。

したがって、

$$\int 2 \sin x \cos x \, dx = \int \sin 2x \, dx$$

$u = 2x$ と置換すると、$du = 2 \, dx$ なので、$dx = \frac{1}{2} \, du$ となります。

$$\int \sin 2x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du$$

$$\frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos u + C$$

$u = 2x$ を代入すると、

$$-\frac{1}{2} \cos u + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$$

別の解法として、$\sin x = t$ とおくと、$dt = \cos x dx$ である。

$$\int 2 \sin x \cos x dx = \int 2t dt = t^2 + C = \sin^2 x + C$$

また、$cos x = t$ とおくと、$dt = -\sin x dx$ である。

$$\int 2 \sin x \cos x dx = \int -2t dt = -t^2 + C = -\cos^2 x + C$$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ より、$\sin^2 x + C = \frac{1 - \cos 2x}{2} + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C'$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \cos 2x + C$