放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた図形の面積 $S$ が $x$ 軸で 2 等分されるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$m > 0$ とします。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた図形の面積 $S$ が $x$ 軸で 2 等分されるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$m > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 - x = mx$

$x^2 - (m+1)x = 0$

$x(x - (m+1)) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 0$ と $x = m+1$ です。

次に、放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

$S = \int_0^{m+1} (mx - (x^2 - x)) dx = \int_0^{m+1} ((m+1)x - x^2) dx$

$S = \left[ \frac{m+1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{m+1} = \frac{(m+1)^3}{2} - \frac{(m+1)^3}{3} = \frac{(m+1)^3}{6}$

次に、放物線 $y = x^2 - x$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

よって、$x = 0$ と $x = 1$ です。

放物線 $y = x^2 - x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ は

$S_1 = \left| \int_0^1 (x^2 - x) dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \right| = \left| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right| = \left| -\frac{1}{6} \right| = \frac{1}{6}$

面積 $S$ が $x$ 軸で 2 等分されるということは、$S_1 = \frac{1}{2}S$ となることを意味します。

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(m+1)^3}{6}$

$1 = \frac{(m+1)^3}{2}$

$(m+1)^3 = 2$

$m+1 = \sqrt[3]{2}$

$m = \sqrt[3]{2} - 1$

3. 最終的な答え

$m = \sqrt[3]{2} - 1$