極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos \theta$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標における面積の公式は、

$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$

で与えられます。今回の問題では、$\alpha = 0$、$\beta = 2\pi$、そして $r = 2 + \cos \theta$ です。したがって、面積は

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2 + \cos \theta)^2 d\theta$

$(2 + \cos \theta)^2 = 4 + 4 \cos \theta + \cos^2 \theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (4 + 4 \cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2}) d\theta$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2} + 4 \cos \theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta) d\theta$

$A = \frac{1}{2} [\frac{9}{2} \theta + 4 \sin \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta]_{0}^{2\pi}$

$A = \frac{1}{2} [\frac{9}{2}(2\pi) + 4 \sin (2\pi) + \frac{1}{4} \sin (4\pi) - (\frac{9}{2}(0) + 4 \sin (0) + \frac{1}{4} \sin (0))]$

$A = \frac{1}{2} [\frac{9}{2}(2\pi) + 0 + 0 - (0 + 0 + 0)]$

$A = \frac{1}{2} (9\pi)$

$A = \frac{9}{2} \pi$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}\pi$