関数 $f(x) = x^3 + 3x^2$ について、極大値、極小値とその時の $x$ の値を求め、$-3 \le x \le a$ ($a > -3$)における最大値を $a$ の範囲によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2$ について、極大値、極小値とその時の $x$ の値を求め、$-3 \le x \le a$ ($a > -3$)における最大値を $a$ の範囲によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(1) 極値の計算

$f(x) = x^3 + 3x^2$

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -2$

$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$

$f(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$

$x = -2$ のとき極大値 $4$、 $x = 0$ のとき極小値 $0$ をとる。

(2) 最大値の計算

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 = -27 + 27 = 0$

$-3 < a < 0$ のとき、区間 $-3 \le x \le a$ で $f(x)$ は $x = -2$ で最大値 $4$ をとり、$x=a$で$f(a)= a^3 + 3a^2$ をとる。

$f(a) > 4$ となる $a$ があるかを調べる。$a^3 + 3a^2 - 4 = (a-1)(a+2)^2 = 0$ なので $a = 1, -2$ のとき $f(a) = 4$ となる。 よって、 $a > 1$ のとき $f(a) > 4$ となる。しかし、$a < 0$ なので最大値は $4$ 。

$a \ge 0$ のとき、区間 $-3 \le x \le a$ で、$x=a$で最大値をとる。

最大値は $f(a) = a^3 + 3a^2$ 。

$a > -3$ より、$-3 < a < 0$ において、最大値は $4$。

$a \ge 0$ において、最大値は$a^3 + 3a^2$。

$f(-3) = 0, f(-2) = 4, f(0) = 0$.

-3 < a < 0のとき最大値は4

0 <= a のとき最大値は $f(a) = a^3 + 3a^2$

$f(a) = f(-3)$ となるのは $a = -3$ （これは条件に合わない）

$a=-1$ のとき $f(-1) = -1+3=2<4$

次に、$f(a) = f(-2) = 4$ となる $a$ を求める。

$a^3 + 3a^2 = 4$

$a^3 + 3a^2 - 4 = 0$

$(a-1)(a+2)^2 = 0$

$a = 1$

よって、$-3 < a < 1$ のとき最大値 $4$ をとり、$a \ge 1$ のとき最大値 $a^3 + 3a^2$ をとる。

3. 最終的な答え

アイ：-2

ウ：4

エ：0

オ：0

カキ：1

ク：1

ケ：3

コ：3

サ：4