(1) 2つの曲線 $y = x^3 + ax$ と $y = bx^2 + c$ がともに点 $(-1, 0)$ を通り、その点で共通の接線を持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、その接点における共通の接線の方程式を求める。 (2) 2つの曲線 $y = x^3 - x^2 - 12x - 1$ と $y = -x^3 + 2x^2 + a$ が接するとき、定数 $a$ の値を求め、その接点における接線の方程式を求める。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を始めます。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y = x^3 + ax$ と $y = bx^2 + c$ がともに点 $(-1, 0)$ を通り、その点で共通の接線を持つとき、定数 $a, b, c$ の値を求め、その接点における共通の接線の方程式を求める。

(2) 2つの曲線 $y = x^3 - x^2 - 12x - 1$ と $y = -x^3 + 2x^2 + a$ が接するとき、定数 $a$ の値を求め、その接点における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: 点 $(-1, 0)$ がそれぞれの曲線を通る条件を立てる。

$0 = (-1)^3 + a(-1) \implies 0 = -1 - a \implies a = -1$

$0 = b(-1)^2 + c \implies 0 = b + c \implies c = -b$

ステップ2: それぞれの曲線を微分し、導関数を求める。

$y' = 3x^2 + a = 3x^2 - 1$

$y' = 2bx$

ステップ3: 点 $(-1, 0)$ におけるそれぞれの曲線の接線の傾きが等しいという条件を立てる。

$3(-1)^2 - 1 = 2b(-1) \implies 3 - 1 = -2b \implies 2 = -2b \implies b = -1$

ステップ4: $c$ の値を求める。

$c = -b = -(-1) = 1$

ステップ5: 共通の接線の傾きを求める。

$y' = 3(-1)^2 - 1 = 2$

ステップ6: 共通の接線の方程式を求める。点 $(-1, 0)$ を通り、傾きが $2$ の直線の方程式は次のようになる。

$y - 0 = 2(x - (-1)) \implies y = 2x + 2$

(2)

ステップ1: 2つの曲線の式をそれぞれ $f(x) = x^3 - x^2 - 12x - 1$ と $g(x) = -x^3 + 2x^2 + a$ とする。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、$f(t) = g(t)$ が成り立つ。

$t^3 - t^2 - 12t - 1 = -t^3 + 2t^2 + a \implies 2t^3 - 3t^2 - 12t - 1 - a = 0$

ステップ2: それぞれの曲線を微分し、導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 12$

$g'(x) = -3x^2 + 4x$

ステップ3: 接点におけるそれぞれの曲線の接線の傾きが等しいという条件を立てる。

$f'(t) = g'(t) \implies 3t^2 - 2t - 12 = -3t^2 + 4t \implies 6t^2 - 6t - 12 = 0 \implies t^2 - t - 2 = 0$

ステップ4: $t$ の値を求める。

$(t - 2)(t + 1) = 0 \implies t = 2, -1$

ステップ5: それぞれの場合について $a$ の値を求める。

(i) $t = 2$ のとき:

$f(2) = 2^3 - 2^2 - 12(2) - 1 = 8 - 4 - 24 - 1 = -21$

$g(2) = -2^3 + 2(2^2) + a = -8 + 8 + a = a$

$-21 = a \implies a = -21$

(ii) $t = -1$ のとき:

$f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 12(-1) - 1 = -1 - 1 + 12 - 1 = 9$

$g(-1) = -(-1)^3 + 2(-1)^2 + a = 1 + 2 + a = 3 + a$

$9 = 3 + a \implies a = 6$

ステップ6: 問題文から、2つの曲線が接するとあるので、接点が1つに定まるはずである。

$h(x) = f(x) - g(x)$ とすると、$h(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x - 1 - a$ である。

$h'(x) = 6x^2 - 6x - 12$

接する条件は $h(t) = h'(t) = 0$ であるから、$t=2$のとき$a=-21$、$t=-1$のとき$a=6$となる。

$t=2$のとき $h(x)=2x^3 - 3x^2 - 12x + 20$

$h'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$ となるから、$h(x)$と$h'(x)$は$x=2$で解を持つ。

$t=-1$のとき $h(x)=2x^3 - 3x^2 - 12x - 7$

$h'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$ となるから、$h(x)$と$h'(x)$は$x=-1$で解を持つ。

ステップ7: 接線の方程式を求める。

(i) $a = -21, t = 2$ のとき:

$f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 12 = 12 - 4 - 12 = -4$

接点 $(2, -21)$ を通り、傾きが $-4$ の直線の方程式は次のようになる。

$y - (-21) = -4(x - 2) \implies y + 21 = -4x + 8 \implies y = -4x - 13$

(ii) $a = 6, t = -1$ のとき:

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 12 = 3 + 2 - 12 = -7$

接点 $(-1, 9)$ を通り、傾きが $-7$ の直線の方程式は次のようになる。

$y - 9 = -7(x - (-1)) \implies y - 9 = -7x - 7 \implies y = -7x + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -1, b = -1, c = 1$

共通の接線の方程式: $y = 2x + 2$

(2) $a = -21$ または $a = 6$

$a = -21$ のとき、接線の方程式: $y = -4x - 13$

$a = 6$ のとき、接線の方程式: $y = -7x + 2$