関数 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ ($1 \leq x \leq 2$) の曲線長 $l$ を求める問題です。$l$ は $\frac{(\text{ア})}{24}$ の形で表され、（ア）に入る数値を答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ ($1 \leq x \leq 2$) の曲線長 $l$ を求める問題です。$l$ は $\frac{(\text{ア})}{24}$ の形で表され、（ア）に入る数値を答えます。

2. 解き方の手順

曲線長 $l$ は、以下の公式で計算できます。

$l = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}) = x^2 - \frac{1}{4x^2}$

次に、$1 + (\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + (x^2 - \frac{1}{4x^2})^2 = 1 + x^4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = x^4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = (x^2 + \frac{1}{4x^2})^2$

したがって、

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{(x^2 + \frac{1}{4x^2})^2} = x^2 + \frac{1}{4x^2}$

$l = \int_1^2 (x^2 + \frac{1}{4x^2}) dx$

$l = [\frac{x^3}{3} - \frac{1}{4x}]_1^2 = (\frac{8}{3} - \frac{1}{8}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{7}{3} + \frac{1}{8} = \frac{56 + 3}{24} = \frac{59}{24}$

問題文より、$l = \frac{(\text{ア})}{24}$ なので、$(\text{ア}) = 59$ です。

3. 最終的な答え

59