曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x=0$, $x=2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x=0$, $x=2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \cos x$ と $x$ 軸で囲まれる面積を求めるには、積分を利用します。

ただし、$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で $\cos x$ は正と負の両方の値をとるため、積分区間を分けて計算する必要があります。$\cos x = 0$ となる $x$ の値を考えると、$x = \frac{\pi}{2}$ と $x = \frac{3\pi}{2}$ です。したがって、積分区間を $[0, \frac{\pi}{2}]$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$, $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ に分割して計算します。

まず、区間 $[0, \frac{\pi}{2}]$ における面積は

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

次に、区間 $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ における面積は、$\cos x$ が負であるため、絶対値をとって計算します。

$\left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx \right| = \left| [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \right| = \left| \sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right| = |-1 - 1| = |-2| = 2$

最後に、区間 $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ における面積は

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx = [\sin x]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \sin 2\pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$

したがって、求める面積 $S$ は、各区間での面積の合計になります。

$S = 1 + 2 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

S = 4