定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

## 問題 (3)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、以下の手順で進めます。

(1) 不定積分を求める:

$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C$

(2) 定積分を計算する:

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2 + 1} dx = [\arctan(x)]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ であるため、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、以下の手順で進めます。

(1) 不定積分を求める:

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{x^2 + (\sqrt{3})^2} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}}) + C$

(2) 定積分を計算する:

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2 + 3} dx = [\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{x}{\sqrt{3}})]_{1}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ であるため、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(1) - \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4\sqrt{3}} - \frac{\pi}{6\sqrt{3}} = \frac{3\pi - 2\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi}{12\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{36}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi\sqrt{3}}{36}$

## 問題 (5)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} \frac{1}{3x^2 + 12} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、以下の手順で進めます。

(1) 不定積分を求める:

$\int \frac{1}{3x^2 + 12} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C = \frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

(2) 定積分を計算する:

$\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} \frac{1}{3x^2 + 12} dx = [\frac{1}{6} \arctan(\frac{x}{2})]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{6} \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{6} \arctan(0)$

$\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arctan(0) = 0$ であるため、

$\frac{1}{6} \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0 = \frac{\pi}{36}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{36}$

## 問題 (6)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{x^2 + 9} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算するために、以下の手順で進めます。

(1) 不定積分を求める:

$\int \frac{x^2}{x^2 + 9} dx = \int \frac{x^2 + 9 - 9}{x^2 + 9} dx = \int (1 - \frac{9}{x^2 + 9}) dx = x - 9 \int \frac{1}{x^2 + 3^2} dx = x - 9 \cdot \frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C = x - 3 \arctan(\frac{x}{3}) + C$

(2) 定積分を計算する:

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{x^2 + 9} dx = [x - 3 \arctan(\frac{x}{3})]_{0}^{\sqrt{3}} = (\sqrt{3} - 3 \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})) - (0 - 3 \arctan(0))$

$\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arctan(0) = 0$ であるため、

$\sqrt{3} - 3 \cdot \frac{\pi}{6} - 0 + 0 = \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$