与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。今回は、(1) $y = x^3 - 3x^2 + 1$ における点 $A(3, 1)$ について、接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点Aにおける接線と法線の方程式を求める問題です。今回は、(1) $y = x^3 - 3x^2 + 1$ における点 $A(3, 1)$ について、接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$y = x^3 - 3x^2 + 1$

$y' = 3x^2 - 6x$

次に、点A(3, 1)における傾きを求めるため、$y'$ に $x = 3$ を代入します。

$y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$

接線の傾きは9です。したがって、点(3, 1)における接線の方程式は、

$y - 1 = 9(x - 3)$

$y = 9x - 27 + 1$

$y = 9x - 26$

法線は接線と直交するため、法線の傾きは接線の傾きの逆数に-1を掛けたものになります。すなわち、法線の傾きは $-1/9$です。

したがって、点(3, 1)における法線の方程式は、

$y - 1 = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} + 1$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 接線：$y = 9x - 26$

(1) 法線：$y = -\frac{1}{9}x + \frac{4}{3}$