与えられた4つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^2 2x(x^2+1)^3 dx$ (2) $\int_1^2 \frac{x^2-2x}{x^3-3x^2+1}dx$ (3) $\int_e^{e^2} \frac{1}{x \log x}dx$ (4) $\int_0^1 \frac{2e^x}{e^x+1}dx$

## 回答

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^2 2x(x^2+1)^3 dx$

(2) $\int_1^2 \frac{x^2-2x}{x^3-3x^2+1}dx$

(3) $\int_e^{e^2} \frac{1}{x \log x}dx$

(4) $\int_0^1 \frac{2e^x}{e^x+1}dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^2 2x(x^2+1)^3 dx$

置換積分を行います。$t = x^2+1$ とすると、$\frac{dt}{dx} = 2x$ より $dt = 2x dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $t = 1^2 + 1 = 2$、$x=2$ のとき $t = 2^2 + 1 = 5$。

よって、積分は

$$\int_2^5 t^3 dt$$

$$= \left[ \frac{t^4}{4} \right]_2^5 = \frac{5^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{625}{4} - \frac{16}{4} = \frac{609}{4}$$

(2) $\int_1^2 \frac{x^2-2x}{x^3-3x^2+1}dx$

置換積分を行います。$t = x^3-3x^2+1$ とすると、$\frac{dt}{dx} = 3x^2 - 6x = 3(x^2-2x)$ より $\frac{1}{3}dt = (x^2-2x) dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=1$ のとき $t = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = -1$、$x=2$ のとき $t = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$。

よって、積分は

$$\int_{-1}^{-3} \frac{1}{3t} dt = \frac{1}{3} \int_{-1}^{-3} \frac{1}{t} dt$$

$$= \frac{1}{3} [\log |t|]_{-1}^{-3} = \frac{1}{3} (\log |-3| - \log |-1|) = \frac{1}{3} (\log 3 - \log 1) = \frac{1}{3} (\log 3 - 0) = \frac{1}{3} \log 3$$

(3) $\int_e^{e^2} \frac{1}{x \log x}dx$

置換積分を行います。$t = \log x$ とすると、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ より $dt = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲も変更します。$x=e$ のとき $t = \log e = 1$、$x=e^2$ のとき $t = \log e^2 = 2$。

よって、積分は

$$\int_1^2 \frac{1}{t} dt$$

$$= [\log |t|]_1^2 = \log |2| - \log |1| = \log 2 - \log 1 = \log 2 - 0 = \log 2$$

(4) $\int_0^1 \frac{2e^x}{e^x+1}dx$

置換積分を行います。$t = e^x+1$ とすると、$\frac{dt}{dx} = e^x$ より $dt = e^x dx$ となります。したがって、$2dt = 2e^x dx$です。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $t = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$、$x=1$ のとき $t = e^1 + 1 = e + 1$。

よって、積分は

$$\int_2^{e+1} \frac{2}{t} dt = 2\int_2^{e+1} \frac{1}{t} dt$$

$$= 2[\log |t|]_2^{e+1} = 2(\log |e+1| - \log |2|) = 2(\log(e+1) - \log 2) = 2\log\left(\frac{e+1}{2}\right)$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{609}{4}$

(2) $\frac{1}{3} \log 3$

(3) $\log 2$

(4) $2\log\left(\frac{e+1}{2}\right)$