(1) 曲線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 (3, 3) における接線の方程式を求める。 (2) 曲線 $y = x^2 - 3x + 1$ 上の点 $(a, a^2 - 3a + 1)$ における接線の方程式を求める。また、この曲線の接線で点 (3, 0) を通るもののうち、傾きが大きい方の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 (3, 3) における接線の方程式を求める。

(2) 曲線 $y = x^2 - 3x + 1$ 上の点 $(a, a^2 - 3a + 1)$ における接線の方程式を求める。また、この曲線の接線で点 (3, 0) を通るもののうち、傾きが大きい方の式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 2x$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = 2x - 2$

点 (3, 3) における接線の傾きは、$y'|_{x=3} = 2(3) - 2 = 4$ である。

よって、接線の方程式は

$y - 3 = 4(x - 3)$

$y = 4x - 12 + 3$

$y = 4x - 9$

したがって、ア = 4、イ = 9。

(2)

$y = x^2 - 3x + 1$ を微分して、$y'$ を求める。

$y' = 2x - 3$

点 $(a, a^2 - 3a + 1)$ における接線の傾きは、$y'|_{x=a} = 2a - 3$ である。

よって、接線の方程式は

$y - (a^2 - 3a + 1) = (2a - 3)(x - a)$

$y = (2a - 3)x - 2a^2 + 3a + a^2 - 3a + 1$

$y = (2a - 3)x - a^2 + 1$

したがって、ウ = 2, エ = 3, オ =

1.

次に、点 (3, 0) を通る接線を求める。接点の x 座標を $t$ とすると、接点は $(t, t^2 - 3t + 1)$ と表せる。

点 $t$ における接線の方程式は、$y = (2t - 3)x - t^2 + 1$ である。

この接線が点 (3, 0) を通るので、

$0 = (2t - 3)(3) - t^2 + 1$

$0 = 6t - 9 - t^2 + 1$

$t^2 - 6t + 8 = 0$

$(t - 2)(t - 4) = 0$

$t = 2, 4$

$t = 2$ のとき、接線は $y = (2(2) - 3)x - 2^2 + 1 = x - 3$

$t = 4$ のとき、接線は $y = (2(4) - 3)x - 4^2 + 1 = 5x - 15$

傾きが大きい方の接線は $y = 5x - 15$ である。

したがって、カ = 5, キク =

1

5.

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x - 9$

(2) $y = (2a - 3)x - a^2 + 1$, $y = 5x - 15$