$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の2つの式の値を求めよ。

(1) $\sin \theta \cos \theta$

(2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 - 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$

$2\sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ を因数分解する。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$

$= (\sin \theta - \cos \theta)(1 + \sin \theta \cos \theta)$

$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ および $\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$ を代入する。

$\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(1 + \frac{4}{9}) = \frac{1}{3} \times \frac{13}{9} = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}$

(2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = \frac{13}{27}$