関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数の導関数を求めるには、積の微分法則と合成関数の微分法則（チェーンルール）を使用します。積の微分法則は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、合成関数の微分法則は $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ です。

まず、$u = x^2 + 1$ と $v = 5^{x^3}$ とおきます。

すると、$u' = 2x$ です。

次に、$v = 5^{x^3}$ の微分を求めます。 $5^x$ の導関数は $5^x \ln 5$ であることを利用します。

$v' = (5^{x^3})' = 5^{x^3} \ln 5 \cdot (x^3)' = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 \cdot 5^{x^3} \ln 5$

積の微分法則を適用すると、

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 \cdot 5^{x^3} \ln 5$

$= 2x \cdot 5^{x^3} + 3x^2(x^2+1) 5^{x^3} \ln 5$

$= 5^{x^3} \left[ 2x + 3x^2(x^2+1) \ln 5 \right]$

$= 5^{x^3} \left[ 2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5 \right]$

3. 最終的な答え

$y' = 5^{x^3} \left[ 2x + (3x^4 + 3x^2) \ln 5 \right]$