与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には、次の関数について$dy/dx$を求めます。 (4) $y = e^{2x+3} \cos x$ (5) $y = (\sin x)^{\tan x}$ (6) $y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$ (7) $y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。具体的には、次の関数について$dy/dx$を求めます。

(4) $y = e^{2x+3} \cos x$

(5) $y = (\sin x)^{\tan x}$

(6) $y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$

(7) $y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

2. 解き方の手順

(4) 積の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

$y = e^{2x+3} \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (e^{2x+3}) \cos x + e^{2x+3} \frac{d}{dx} (\cos x)$

$\frac{d}{dx} (e^{2x+3}) = 2 e^{2x+3}$

$\frac{d}{dx} (\cos x) = - \sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2 e^{2x+3} \cos x - e^{2x+3} \sin x = e^{2x+3} (2 \cos x - \sin x)$

(5) 対数微分法を使います。

$y = (\sin x)^{\tan x}$

$\ln y = \tan x \ln (\sin x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan x) \ln (\sin x) + \tan x \frac{d}{dx} (\ln (\sin x))$

$\frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{d}{dx} (\ln (\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cos x = \cot x$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} \ln (\sin x) + \tan x \cot x = \frac{\ln (\sin x)}{\cos^2 x} + 1$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{\ln (\sin x)}{\cos^2 x} + 1 \right) = (\sin x)^{\tan x} \left( \frac{\ln (\sin x)}{\cos^2 x} + 1 \right)$

(6) 微分積分学の基本定理と合成関数の微分公式を使います。

$y = \int_0^{x^2} \frac{1}{t^4+1} dt$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(x^2)^4 + 1} \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = \frac{1}{x^8+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) 微分積分学の基本定理と合成関数の微分公式を使います。

$y = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{1}{t^3+1} dt$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\sqrt{x})^3+1} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{x^{3/2}+1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x^{3/2}+1)}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{2x+3} (2 \cos x - \sin x)$

(5) $\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x} \left( \frac{\ln (\sin x)}{\cos^2 x} + 1 \right)$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^8+1}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (x^{3/2}+1)}$