関数 $y = x\sqrt{1+x^2}$ が与えられたとき、微分方程式 $(1+x^2)y'' + xy' = 4y$ が成り立つことを証明する。

1. 問題の内容

関数 $y = x\sqrt{1+x^2}$ が与えられたとき、微分方程式 $(1+x^2)y'' + xy' = 4y$ が成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $y = x\sqrt{1+x^2}$ を$x$で微分して、$y'$ を求める。

(2) さらに$y'$ を$x$で微分して、$y''$ を求める。

(3) 求めた $y'$ と $y''$ を微分方程式 $(1+x^2)y'' + xy' = 4y$ の左辺に代入する。

(4) 左辺を計算し、それが右辺の $4y$ と等しくなることを示す。

まず、$y'$ を計算する。積の微分公式を用いる。

$y' = \sqrt{1+x^2} + x \cdot \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \sqrt{1+x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

$y' = \frac{1+x^2+x^2}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

次に、$y''$ を計算する。商の微分公式を用いる。

$y'' = \frac{4x\sqrt{1+x^2} - (1+2x^2)\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{4x(1+x^2) - x(1+2x^2)}{(1+x^2)^{3/2}}$

$y'' = \frac{4x+4x^3 - x - 2x^3}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{3x+2x^3}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{x(3+2x^2)}{(1+x^2)^{3/2}}$

次に、微分方程式の左辺に $y'$ と $y''$ を代入する。

$(1+x^2)y'' + xy' = (1+x^2)\frac{x(3+2x^2)}{(1+x^2)^{3/2}} + x\frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}$

$= \frac{x(3+2x^2)}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{x(1+2x^2)}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{3x+2x^3+x+2x^3}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{4x+4x^3}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{4x(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}$

$= 4x\sqrt{1+x^2} = 4y$

したがって、$(1+x^2)y'' + xy' = 4y$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$(1+x^2)y'' + xy' = 4y$ が成り立つ。