次の4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$ (2) $\lim_{x\to\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$ (3) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - x)$ (4) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$

1. 問題の内容

次の4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$

(3) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - x)$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}}$について

ロピタルの定理を用いる。$\log x$を微分すると$\frac{1}{x}$、$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$を微分すると$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$。よって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

(2) $\lim_{x\to\infty} \frac{e^{2x}}{x^3}$について

ロピタルの定理を3回用いる。

$\lim_{x\to\infty} \frac{e^{2x}}{x^3} = \lim_{x\to\infty} \frac{2e^{2x}}{3x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{4e^{2x}}{6x} = \lim_{x\to\infty} \frac{8e^{2x}}{6} = \infty$

(3) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - x)$について

有理化を行う。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - x) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x+1} - x)(\sqrt{x^2+3x+1} + x)}{\sqrt{x^2+3x+1} + x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x^2+3x+1 - x^2}{\sqrt{x^2+3x+1} + x} = \lim_{x\to\infty} \frac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x+1} + x} = \lim_{x\to\infty} \frac{3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x}$について

ロピタルの定理を用いる。$\log(2x+1)$を微分すると$\frac{2}{2x+1}$、$\sin x$を微分すると$\cos x$。よって、

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(2x+1)}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{2}{2x+1}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\infty$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) 2