a) スカラー関数 $\phi = 4x^2z + y^2z^3$ のラプラシアン $\Delta \phi$ を求める。 b) 全微分 $dz = \nabla f \cdot d\mathbf{r}$ を導出する。ただし、$z = f(x,y)$。

1. 問題の内容

a) スカラー関数 $\phi = 4x^2z + y^2z^3$ のラプラシアン $\Delta \phi$ を求める。

b) 全微分 $dz = \nabla f \cdot d\mathbf{r}$ を導出する。ただし、$z = f(x,y)$。

2. 解き方の手順

a) ラプラシアン $\Delta \phi$ は、$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$ で定義される。

まず、$\phi$ を $x$ で2回偏微分する:

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 8xz$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 8z$

次に、$\phi$ を $y$ で2回偏微分する:

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 2yz^3$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 2z^3$

最後に、$\phi$ を $z$ で2回偏微分する:

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 4x^2 + 3y^2z^2$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 6y^2z$

よって、$\Delta \phi = 8z + 2z^3 + 6y^2z$ となる。

b) $z = f(x, y)$ の全微分 $dz$ は次のように表される。

$dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

また、勾配ベクトル $\nabla f$ は次のように表される。

$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$

位置ベクトル $d\mathbf{r}$ は次のように表される。

$d\mathbf{r} = (dx, dy)$

したがって、内積 $\nabla f \cdot d\mathbf{r}$ は次のようになる。

$\nabla f \cdot d\mathbf{r} = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$

これは全微分 $dz$ と等しい。したがって、$dz = \nabla f \cdot d\mathbf{r}$ が導出された。

3. 最終的な答え

a) $\Delta \phi = 8z + 2z^3 + 6y^2z$

b) $dz = \nabla f \cdot d\mathbf{r}$