## 問題

## 問題

画像に示された以下の4つの極限を計算します。

(9) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$

(10) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$

(11) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2}\right)$

(12) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

## 解き方の手順

### (9) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$

1. 対数を取ります。$y = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \frac{\ln(1+x) - \ln(1-x)}{x}$.

2. $x \to 0$ での極限を考えます。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

3. 分子と分母を微分します。$\frac{d}{dx}(\ln(1+x) - \ln(1-x)) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{2}{1-x^2}$, $\frac{d}{dx}(x) = 1$.

4. ロピタルの定理により、$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{2}{1-x^2} = 2$.

5. $\lim_{x \to 0} \ln y = 2$ より、$\lim_{x \to 0} y = e^2$.

### (10) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}$

1. $\sin x$ のテイラー展開を利用します。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

2. $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$

3. $\frac{x^3}{\sin x - x} = \frac{x^3}{-\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots} = \frac{1}{-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \dots}$

4. $x \to 0$ の極限を取ると、$\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$.

### (11) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2}\right)$

1. 式を整理します。$\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2} = \frac{\sin x \cos x - x}{x^3}$

2. $\sin x$ と $\cos x$ のテイラー展開を利用します。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

3. $\sin x \cos x = \left(x - \frac{x^3}{6} + \dots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2} + \dots\right) = x - \frac{x^3}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^5) = x - \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

4. $\sin x \cos x - x = -\frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

5. $\frac{\sin x \cos x - x}{x^3} = -\frac{2}{3} + O(x^2)$

6. $x \to 0$ の極限を取ると、$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x \cos x}{x^3} - \frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{3}$.

### (12) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$

1. 対数をとります。$y = \left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)$.

2. $x \to 0$ での極限を考えます。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

3. 分子と分母を微分します。$\frac{d}{dx}\left(\ln\left(\frac{a^x + b^x}{2}\right)\right) = \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{a^x + b^x}$, $\frac{d}{dx}(x) = 1$.

4. ロピタルの定理により、$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{a^x \ln a + b^x \ln b}{a^x + b^x} = \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln \sqrt{ab}$.

5. $\lim_{x \to 0} \ln y = \ln \sqrt{ab}$ より、$\lim_{x \to 0} y = \sqrt{ab}$.

## 最終的な答え

(9) $e^2$

(10) $-6$

(11) $-\frac{2}{3}$

(12) $\sqrt{ab}$