直線 $y = mx$ と放物線 $y = 3x - x^2$ で囲まれる図形の面積を $S_1$ とする。また、放物線 $y = 3x - x^2$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S_2$ とする。$S_1 = \frac{1}{8} S_2$ であるとき、$m$ の値を求める問題。$S_2 = \frac{9}{2}$が与えられている。

1. 問題の内容

直線 $y = mx$ と放物線 $y = 3x - x^2$ で囲まれる図形の面積を $S_1$ とする。また、放物線 $y = 3x - x^2$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を $S_2$ とする。$S_1 = \frac{1}{8} S_2$ であるとき、$m$ の値を求める問題。$S_2 = \frac{9}{2}$が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$S_2$を計算します。放物線 $y = 3x - x^2$ と $x$ 軸の交点を求めると、

$3x - x^2 = 0$ より $x(3 - x) = 0$ なので、$x = 0, 3$。

$S_2 = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx = [\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{3} = \frac{3}{2}(3^2) - \frac{1}{3}(3^3) = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$.

問題文から $S_2 = \frac{9}{2}$ である。

次に、$S_1$を計算します。直線 $y = mx$ と放物線 $y = 3x - x^2$ の交点を求めると、

$mx = 3x - x^2$ より $x^2 + (m - 3)x = 0$ なので、$x(x + m - 3) = 0$。よって、$x = 0, 3 - m$。

$S_1 = \left| \int_{0}^{3 - m} (3x - x^2 - mx) dx \right| = \left| \int_{0}^{3 - m} ((3 - m)x - x^2) dx \right| = \left| [\frac{3 - m}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3]_{0}^{3 - m} \right| = \left| \frac{3 - m}{2} (3 - m)^2 - \frac{1}{3} (3 - m)^3 \right| = \left| \frac{(3 - m)^3}{2} - \frac{(3 - m)^3}{3} \right| = \left| \frac{(3 - m)^3}{6} \right| = \frac{(3 - m)^3}{6}$.

（ただし、$m < 3$とする。）

問題文より、$S_1 = \frac{1}{8} S_2$ なので、$\frac{(3 - m)^3}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{2} = \frac{9}{16}$。

$(3 - m)^3 = \frac{9}{16} \cdot 6 = \frac{54}{16} = \frac{27}{8}$。

$3 - m = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$。

$m = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6 - 3}{2} = \frac{3}{2}$.

3. 最終的な答え

$m = \frac{3}{2}$