C上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める問題です。 ただし、$f(t) = t^3 - t$ であり、$f'(t) = 3t^2 - 1$ であることが与えられています。 最終的に、$y=(3t^2-1)x-2t^3$ となることを示します。

1. 問題の内容

C上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める問題です。

ただし、$f(t) = t^3 - t$ であり、$f'(t) = 3t^2 - 1$ であることが与えられています。

最終的に、$y=(3t^2-1)x-2t^3$ となることを示します。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式の一般的な形 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$ が与えられています。

次に、$f(t) = t^3 - t$ と $f'(t) = 3t^2 - 1$ を代入します。

$y - (t^3 - t) = (3t^2 - 1)(x - t)$

これを展開して、$y$ について解きます。

$y = (3t^2 - 1)(x - t) + t^3 - t$

$y = (3t^2 - 1)x - (3t^2 - 1)t + t^3 - t$

$y = (3t^2 - 1)x - 3t^3 + t + t^3 - t$

$y = (3t^2 - 1)x - 2t^3$

3. 最終的な答え

$y = (3t^2 - 1)x - 2t^3$