与えられた4つの極限値を計算します。 (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$ (7) $\lim_{x \to -\infty} xe^x$ (8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を計算します。

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$

(7) $\lim_{x \to -\infty} xe^x$

(8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5^x}{x^4}$

$5^x$は指数関数で、$x^4$は多項式関数です。$x$が無限大に近づくとき、指数関数は多項式関数よりも速く増加します。したがって、この極限は無限大に発散します。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{e^x - e^{-x}}$

この極限は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

1回微分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{e^x + e^{-x}} = \frac{0}{2} = 0$

(7) $\lim_{x \to -\infty} xe^x$

$t = -x$とおくと、$x = -t$となり、$x \to -\infty$のとき$t \to \infty$となります。

$\lim_{x \to -\infty} xe^x = \lim_{t \to \infty} -te^{-t} = -\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t}$

これは$\frac{\infty}{\infty}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$-\lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^t} = 0$

(8) $\lim_{x \to 0} (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$

$y = (e^x + x)^{\frac{1}{x}}$とおくと、

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(e^x + x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x + x)}{x}$

この極限は$\frac{0}{0}$の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x + 1}{e^x + x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{e^x + x} = \frac{1 + 1}{1 + 0} = 2$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 2$なので、

$\lim_{x \to 0} y = e^2$

3. 最終的な答え

(5) $\infty$

(6) $0$

(7) $0$

(8) $e^2$