次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2}$ ## 解き方の手順 1. ロピタルの定理を適用します。$x \to 0$ のとき、分子と分母は共に0に近づくため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。分子と分母をそれぞれ微分します。 分子の微分： $\frac{d}{dx} [\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x] = \frac{-3 + 4x}{1 - 3x + 2x^2} + 3$ 分母の微分： $\frac{d}{dx} [x^2] = 2x$ したがって、極限は次のようになります。 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3 + 4x}{1 - 3x + 2x^2} + 3}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 + 4x + 3(1 - 3x + 2x^2)}{2x(1 - 3x + 2x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-5x + 6x^2}{2x(1 - 3x + 2x^2)}$

## 問題 (13)

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x}{x^2}$

## 解き方の手順

1. ロピタルの定理を適用します。$x \to 0$ のとき、分子と分母は共に0に近づくため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx} [\log(1 - 3x + 2x^2) + 3x] = \frac{-3 + 4x}{1 - 3x + 2x^2} + 3$

分母の微分：

$\frac{d}{dx} [x^2] = 2x$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-3 + 4x}{1 - 3x + 2x^2} + 3}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-3 + 4x + 3(1 - 3x + 2x^2)}{2x(1 - 3x + 2x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-5x + 6x^2}{2x(1 - 3x + 2x^2)}$

2. $x$ で約分します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-5 + 6x}{2(1 - 3x + 2x^2)}$

3. $x = 0$ を代入します。

$\frac{-5 + 6(0)}{2(1 - 3(0) + 2(0)^2)} = \frac{-5}{2}$

## 最終的な答え

-5/2

## 問題 (14)

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{\sin x} \right)$

## 解き方の手順

1. 通分します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x - (e^x - 1)}{(e^x - 1)\sin x} \right)$

2. テイラー展開を利用します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

したがって、

$\sin x - (e^x - 1) = x - \frac{x^3}{6} - (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + O(x^4) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)$

$(e^x - 1) \sin x = (x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6})(x - \frac{x^3}{6}) + O(x^5) = x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

3. 極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^4)}{x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + O(x^2)}{1 + \frac{x}{2} + O(x^2)} = -\frac{1}{2}$

## 最終的な答え

-1/2