関数 $\frac{x+2}{1-x}$ をマクローリン展開したとき、0でない最初の3項を求める。

1. 問題の内容

関数 $\frac{x+2}{1-x}$ をマクローリン展開したとき、0でない最初の3項を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x+2}{1-x}$ を変形する。

$\frac{x+2}{1-x} = \frac{x-1+3}{1-x} = \frac{x-1}{1-x} + \frac{3}{1-x} = -1 + \frac{3}{1-x}$

次に、$\frac{1}{1-x}$ のマクローリン展開を求める。

$\frac{1}{1-x}$ は等比数列の和と見なせるので、

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$

したがって、

$\frac{3}{1-x} = 3(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots) = 3 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots$

元の関数に戻ると、

$\frac{x+2}{1-x} = -1 + \frac{3}{1-x} = -1 + 3 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots = 2 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \cdots$

マクローリン展開の0でない最初の3項は、$2$, $3x$, $3x^2$である。

3. 最終的な答え

$2 + 3x + 3x^2$