定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}$ とおきます。

両辺に$(x+1)(x+2)$をかけると、

$x+3 = A(x+2) + B(x+1)$

$x+3 = (A+B)x + (2A+B)$

係数を比較して、

$A+B = 1$

$2A+B = 3$

上の式から下の式を引くと、

$A = 2$

$B = 1 - A = 1 - 2 = -1$

したがって、

$\frac{x+3}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

これを用いて、積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{x+3}{(x+1)(x+2)} dx = \int_{0}^{1} (\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x+2}) dx$

$= [2\ln|x+1| - \ln|x+2|]_{0}^{1}$

$= (2\ln2 - \ln3) - (2\ln1 - \ln2)$

$= 2\ln2 - \ln3 - 0 + \ln2$

$= 3\ln2 - \ln3$

$= \ln(2^3) - \ln3$

$= \ln8 - \ln3$

$= \ln\frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\ln\frac{8}{3}$