数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項が $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \sin \frac{n\pi}{2}$ で与えられ、 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の第 $n$ 項が $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n \sin \frac{n\pi}{2}$ で与えられ、 $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ とするとき、$\lim_{n\to\infty} S_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$S = \lim_{n\to\infty} S_n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n \sin \frac{n\pi}{2}$ を計算します。

$S$ の値を求めるために、複素数を利用した計算を行います。

$z = \frac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}i$ とおくと、

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n \sin \frac{n\pi}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{Im}\left( \left(\frac{1}{3}e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^n \right) = \mathrm{Im}\left( \sum_{n=1}^{\infty} z^n \right)$

ここで、$\sum_{n=1}^{\infty} z^n$ は初項 $z$、公比 $z$ の等比数列の和であり、$|z| = \frac{1}{3} < 1$ より収束するため、

$\sum_{n=1}^{\infty} z^n = \frac{z}{1-z} = \frac{\frac{1}{3}i}{1-\frac{1}{3}i} = \frac{i}{3-i} = \frac{i(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{3i - 1}{9+1} = \frac{-1+3i}{10}$

したがって、

$S = \mathrm{Im}\left( \frac{-1+3i}{10} \right) = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{3}{10}$