放物線 $y=x^2-4x+3$ 上の点 A(0, 3) と B(6, 15) における接線をそれぞれ $l, m$ とする。この放物線と直線 AB によって囲まれる面積を S、この放物線と $l, m$ で囲まれる面積を T とするとき、S, T および T/S を求める問題。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2-4x+3$ 上の点 A(0, 3) と B(6, 15) における接線をそれぞれ $l, m$ とする。この放物線と直線 AB によって囲まれる面積を S、この放物線と $l, m$ で囲まれる面積を T とするとき、S, T および T/S を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 直線 AB の方程式を求める。

A(0, 3) と B(6, 15) を通る直線の傾きは、$(15-3)/(6-0) = 12/6 = 2$。

切片は3なので、直線 AB の方程式は $y = 2x + 3$。

(2) 放物線 $y=x^2-4x+3$ と直線 $y=2x+3$ で囲まれた面積 S を求める。

$x^2-4x+3 = 2x+3$ を解くと、$x^2-6x=0$ より $x(x-6)=0$。

よって、$x=0, 6$。

面積 S は、$\int_0^6 (2x+3 - (x^2-4x+3)) dx = \int_0^6 (-x^2+6x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2]_0^6 = -\frac{1}{3}(6^3) + 3(6^2) = -72 + 108 = 36$。

(3) 放物線上の点 A(0, 3) における接線 l の方程式を求める。

$y=x^2-4x+3$ より、$y'=2x-4$。

A(0, 3) における接線の傾きは、$y'(0) = 2(0)-4 = -4$。

よって、接線 l の方程式は、$y-3 = -4(x-0)$ より、$y=-4x+3$。

(4) 放物線上の点 B(6, 15) における接線 m の方程式を求める。

B(6, 15) における接線の傾きは、$y'(6) = 2(6)-4 = 8$。

よって、接線 m の方程式は、$y-15 = 8(x-6)$ より、$y = 8x - 33$。

(5) 接線 l と m の交点の x 座標を求める。

$-4x+3 = 8x-33$ より、$12x = 36$。よって、$x=3$。

交点の y 座標は、$y = -4(3)+3 = -9$。

交点は (3, -9)。

(6) 放物線 $y=x^2-4x+3$ と接線 l で囲まれた面積を $S_1$ とする。

$x^2-4x+3 = -4x+3$ より、$x^2 = 0$。よって、$x=0$。

この放物線と接線 l は x = 0 で接している。

$S_1 = \int_0^3 (-4x+3 - (x^2-4x+3)) dx = \int_0^3 (-x^2) dx = [-\frac{1}{3}x^3]_0^3 = -\frac{1}{3}(3^3) = -9$

面積なので $S_1 = |-9| = 9$

(7) 放物線 $y=x^2-4x+3$ と接線 m で囲まれた面積を $S_2$ とする。

$x^2-4x+3 = 8x-33$ より、$x^2-12x+36=0$。よって、$(x-6)^2 = 0$ で、$x=6$。

この放物線と接線 m は x = 6 で接している。

$S_2 = \int_3^6 (8x-33 - (x^2-4x+3)) dx = \int_3^6 (-x^2+12x-36) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 6x^2 - 36x]_3^6 = (-\frac{1}{3}(6^3)+6(6^2)-36(6)) - (-\frac{1}{3}(3^3)+6(3^2)-36(3)) = (-72+216-216) - (-9+54-108) = -72 - (-63) = -72+63 = -9$

面積なので $S_2 = |-9| = 9$

したがって $T = S_1+S_2 = \int_0^3 -x^2 dx+ \int_3^6 (-x^2+12x-36) dx = |-9| + |-9| = 9+9 = 18$

T = 18

(8) T/S を計算する。

$T/S = 18/36 = 1/2$。

3. 最終的な答え

S=36, T=18, T/S = 1/2

S = 36 なので、S = 3 6

T = 18 なので、T = 1 8

T/S = 1/2 なので、T/S = 1 / 2