点(1,3)を通る直線 $l$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる図形の面積 $S$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

点(1,3)を通る直線 $l$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる図形の面積 $S$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点(1,3)を通り、傾き $m$ の直線 $l$ は、 $y = m(x-1) + 3$ と表されます。問題文中の $y = m(x-1)+2$ は $y = m(x-1)+3$ の間違いであると考えられます。

(2) 直線 $l$ と放物線 $y=x^2$ を連立すると、$x^2 = m(x-1) + 3$ となり、$x^2 - mx + m + 3 = 0$ と変形できます。この2次方程式の異なる2実解を $x = \alpha, \beta$ （ただし $\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = m$、$\alpha \beta = m - 3$ が得られます。問題文中の $\alpha \beta = m-3$ は正しいですが、問題文中の $y = m(x-1)+2$ が誤っているので、正しくは$x^2 = m(x-1) + 3$ となり、$x^2 - mx + m - 3 = 0$ と変形できます。解と係数の関係より、$\alpha + \beta = m$、$\alpha \beta = m - 3$ が得られます。

(3) 面積 $S$ は、$\displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} \{m(x-1) + 3 - x^2\} \, dx$ で表されます。これを計算すると、

$\displaystyle S = \int_{\alpha}^{\beta} \{-x^2 + mx - (m - 3)\} \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) \, dx = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$ となります。

ここで、 $(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = m^2 - 4(m - 3) = m^2 - 4m + 12 = (m - 2)^2 + 8$ なので、

$\beta - \alpha = \sqrt{(m-2)^2 + 8}$ となります。

したがって、$\displaystyle S = \frac{1}{6} \left( (m - 2)^2 + 8 \right)^{3/2}$ となります。

(4) $S$ を最小にする $m$ は、$m = 2$ のときで、その最小値は $\displaystyle S = \frac{1}{6} (8)^{3/2} = \frac{1}{6} (2\sqrt{2})^3 = \frac{1}{6} (8 \cdot 2\sqrt{2}) = \frac{16\sqrt{2}}{6} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$