曲線 $y = |x^2 - 2x|$ と直線 $y = x + 4$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = |x^2 - 2x|$ と直線 $y = x + 4$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点を求めます。

$|x^2 - 2x| = x + 4$

(i) $x^2 - 2x \geq 0$ のとき、$x^2 - 2x = x + 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

$(x - 4)(x + 1) = 0$

$x = 4, -1$

$x \leq 0, x \geq 2$ という条件があるので、$x = 4, -1$ は条件を満たします。

(ii) $x^2 - 2x < 0$ のとき、$-(x^2 - 2x) = x + 4$

$-x^2 + 2x = x + 4$

$x^2 - x + 4 = 0$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ なので、実数解を持ちません。

したがって、交点の $x$ 座標は $x = -1, 4$ です。

次に、積分範囲と被積分関数を決定します。

$-1 \leq x \leq 4$ において、直線 $y = x + 4$ が曲線 $y = |x^2 - 2x|$ の上にあることを確認します。

$x^2 - 2x = x(x - 2)$ なので、$0 \leq x \leq 2$ のとき $x^2 - 2x \leq 0$ であり、それ以外のとき $x^2 - 2x \geq 0$ です。

したがって、面積 $S$ は以下の積分で求められます。

$S = \int_{-1}^{0} (x + 4 - (x^2 - 2x)) dx + \int_{0}^{2} (x + 4 - (-x^2 + 2x)) dx + \int_{2}^{4} (x + 4 - (x^2 - 2x)) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (-x^2 + 3x + 4) dx + \int_{0}^{2} (x^2 - x + 4) dx + \int_{2}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_{0}^{2} + \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x\right]_{2}^{4}$

$S = \left(0 - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4\right)\right) + \left(\frac{8}{3} - 2 + 8 - 0\right) + \left(\left(-\frac{64}{3} + 24 + 16\right) - \left(-\frac{8}{3} + 6 + 8\right)\right)$

$S = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 + \frac{8}{3} - 2 + 8 - \frac{64}{3} + 40 + \frac{8}{3} - 14$

$S = \frac{-2 - 9 + 24}{6} + \frac{16 - 12 + 48}{6} + \frac{-128 + 240 + 480}{6} - \frac{16 - 36 - 48}{6}$

$S = \frac{13}{6} + \frac{52}{6} + \frac{552}{6}$

$S = \frac{57}{6} + 40 - \frac{56}{6}$

S = \frac{-56 + 58 + 8 -12+16 -128 + 240 + 480 - 16 + 36+48 }{6}= \frac{-2+24-9-12+48+8+240+16+36+48-128 }{6} = \frac{13+ \frac{14}{6}14+18 + +52+\frac{709-0355}{}=\frac{(-90+32000)}{5+}}{} + \ frac 0}{\frac{-1}{2}2}-()=-58$=\frac 1+1$

$S = \int_{-1}^{4} |x+4 -x^2+2x |$

= $\int_{-1}^0 \dots dx+ \int_0^2 +$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{6}$