合成関数の微分を用いて、以下の(1)と(2)それぞれについて、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。 (1) $z = xy^2 + x^2y$, $x = u+v$, $y = u-v$ (2) $z = \sin(x-y)$, $x = u^2 + v^2$, $y = 2uv$

1. 問題の内容

合成関数の微分を用いて、以下の(1)と(2)それぞれについて、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。

(1) $z = xy^2 + x^2y$, $x = u+v$, $y = u-v$

(2) $z = \sin(x-y)$, $x = u^2 + v^2$, $y = 2uv$

2. 解き方の手順

(1)の場合：

合成関数の微分より、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

まず、$z$ を $x$ と $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 + 2xy$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy + x^2$

次に、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で偏微分する。

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial v} = -1$

上記の偏微分したものを代入する。

$z_u = (y^2 + 2xy)(1) + (2xy + x^2)(1) = y^2 + 4xy + x^2 = (x+y)^2$

$z_v = (y^2 + 2xy)(1) + (2xy + x^2)(-1) = y^2 - x^2$

$x = u+v$と$y = u-v$を代入する。

$z_u = ((u+v) + (u-v))^2 = (2u)^2 = 4u^2$

$z_v = (u-v)^2 - (u+v)^2 = u^2 - 2uv + v^2 - (u^2 + 2uv + v^2) = -4uv$

(2)の場合：

合成関数の微分より、

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}$

まず、$z$ を $x$ と $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x-y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\cos(x-y)$

次に、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で偏微分する。

$\frac{\partial x}{\partial u} = 2u$

$\frac{\partial x}{\partial v} = 2v$

$\frac{\partial y}{\partial u} = 2v$

$\frac{\partial y}{\partial v} = 2u$

上記の偏微分したものを代入する。

$z_u = \cos(x-y)(2u) + (-\cos(x-y))(2v) = 2(u-v)\cos(x-y)$

$z_v = \cos(x-y)(2v) + (-\cos(x-y))(2u) = 2(v-u)\cos(x-y)$

$x = u^2+v^2$と$y = 2uv$を代入する。

$z_u = 2(u-v)\cos(u^2 + v^2 - 2uv) = 2(u-v)\cos((u-v)^2)$

$z_v = 2(v-u)\cos(u^2 + v^2 - 2uv) = 2(v-u)\cos((u-v)^2)$

3. 最終的な答え

(1)

$z_u = 4u^2$

$z_v = -4uv$

(2)

$z_u = 2(u-v)\cos((u-v)^2)$

$z_v = 2(v-u)\cos((u-v)^2)$